호지 추측 논문 세 편, OpenAI는 왜 철회했나: 부호 오류는 어디서 생겼나

2026년 10월 22일, 수학자 두 사람이 OpenAI의 호지 추측 논문 세 편이 어디서 잘못됐는지 설명하는 9쪽짜리 노트를 arXiv에 올렸습니다. 임피리얼 칼리지 런던의 Yankı Lekili와 에든버러 대학교의 Nick Sheridan은 「Rigidity, flexibility, and a sign error¹」에서 실패의 원인을 부호 관례에서 찾습니다. 논문들은 기하학적 대상의 자기 교차를 한 방식으로 셌는데, 논문들이 기댄 2013년 정리는 그것을 반대 방식으로 셉니다. OpenAI는 내부 모델이 만든 원고 수백 편과 함께 이 세 편을 10월 6일 공개했고, 이틀 안에 철회했습니다.

이로써 세 논문은 공개된 자리에서 생애 주기 전체를 거쳤습니다. 한 회사가 논문을 공개했다가 자체 공지와 함께 철회했습니다. 독립적인 독자가 부호를 확인해 문제를 알렸고, 두 전문가가 공개 문헌에서 원인을 진단했습니다. 각 단계는 서로 다른 곳에, 서로 다른 사람에 의해, 각자의 날짜와 함께 기록됐습니다.

아래에서는 호지 추측이 무엇을 묻는지, 거울 대칭이 어떻게 도움이 되리라 기대됐는지, 논문들이 무엇을 주장했는지, 어떻게 철회되고 진단됐는지, Papex에서 어디서 따라갈 수 있는지 정리합니다. 모든 출처는 2026년 10월 30일에 확인했습니다. Papex는 수학을 평가하지 않으며, 각 출처가 말하는 바를 전합니다.

호지 추측은 무엇을 묻나요?#

해 집합의 모양을 언제 또 다른 방정식으로 기술할 수 있는지를 묻습니다. 이 추측을 일곱 개의 밀레니엄 문제 가운데 하나로 꼽는 클레이 수학연구소는 이렇게 설명합니다¹⁸. "이 추측의 답은 대수 방정식계의 해 집합이 가진 위상 가운데 얼마만큼을 또 다른 대수 방정식으로 정의할 수 있는지를 결정한다."

다항 방정식으로 잘라 낸 도형을 생각해 봅시다. 수학자들은 이것을 사영 다양체라고 부릅니다. 위상수학은 이 도형을 코호몰로지 류(cohomology class)로 기술하는데, 이는 각 차원의 구멍과 순환을 모은 일종의 목록입니다. 그 류 가운데 일부는 도형 안에 있으면서 역시 다항 방정식으로 잘라 낸 더 작은 도형에서 옵니다. 이것이 대수적 사이클입니다. 대수적 사이클에서 오는 류는 모두 호지 이론의 한 가지 시험을 통과합니다. "(p, p)형"이라는 것입니다. 이 시험을 통과하는 유리 계수 류를 호지 류라고 부릅니다.

추측은 이 시험만으로 충분하다고 말합니다. 피에르 들리뉴(Pierre Deligne)가 클레이를 위해 쓴 공식 문제 설명¹⁹에는 이렇게 적혀 있습니다. "C 위의 비특이 사영 대수다양체에서, 모든 호지 류는 대수적 사이클의 류 cl(Z)의 유리 일차결합이다."

W. V. D. Hodge는 1950년 세계수학자대회 강연에서 이 질문을 제기했습니다. 클레이 페이지에 따르면 이 추측은 "특정한 특수 경우, 예컨대 해 집합의 차원이 4보다 작을 때는 알려져 있다. 그러나 4차원에서는 알려져 있지 않다".¹⁸ 들리뉴는 걸림돌을 이렇게 짚습니다. "흥미로운 대수적 사이클을 구성할 방법이 부족해 진전이 막혀 있다."¹⁹

이 마지막 문장은 OpenAI 논문들이 왜 주목받았는지 설명해 줍니다. 추측의 한 경우를 증명하려면 주어진 호지 류를 나타내는 대수적 사이클을 만들어야 합니다. 세 논문은 그것을 만드는 새로운 방법을 제안했습니다.

거울 대칭은 여기에 어떻게 관련되나요?#

거울 대칭은 끈 이론을 연구하던 물리학자들이 처음 관찰한 현상입니다. 1994년 세계수학자대회 강연에서 Maxim Kontsevich¹⁶는 "호몰로지 대수의 언어로 정식화한, 거울 추측의 정밀한 판본"을 제안했고, 이것이 오늘날 호몰로지 거울 대칭(homological mirror symmetry)이라고 불립니다.

호몰로지 거울 대칭은 공간 X를 '거울' 공간 Y와 짝짓습니다. X는 대수기하학으로, 즉 방정식을 통해 연구합니다. Y는 넓이를 중심으로 세워진 다른 분야인 심플렉틱 기하학(symplectic geometry)으로 연구합니다. 추측은 두 대상 모음이 정확히 대응한다고 말합니다.

• X 쪽에는 대수적 대상들, 즉 부분다양체, 벡터 다발, 그리고 그 일반화인 연접층(coherent sheaf)이 있습니다.
• Y 쪽에는 라그랑주 부분다양체, 즉 Y의 정확히 절반 차원을 가지면서 특별한 성질을 지닌 곡면들이 있으며, 이들이 후카야 범주(Fukaya category)라고 불리는 것을 이룹니다.

Lekili와 Sheridan의 노트는 OpenAI 논문들이 이것을 어떻게 쓰려 했는지 정리합니다.¹ 먼저 다양체 X가 호몰로지 거울 대칭을 만족함을 보입니다. 노트는 해당 경우의 핵심 결과를 Mohammed Abouzaid와 Paul Seidel의 공으로 돌립니다. 그다음 X 위의 호지 류를 대수적 사이클로 나타내려면 "대응하는 호몰로지 류를" 거울 Y 위에서 "장애 없는(unobstructed) 라그랑주 몰입으로 나타내는 것으로 충분해진다". 거울 쪽에서 알맞은 라그랑주 부분다양체를 만들어 건너편으로 옮기면, 그 류를 지니는 대수적 대상을 X 위에 얻게 됩니다.

문제는 "장애 없는"이라는 말입니다. 거울 쪽에서 대상으로 인정되는 것은 장애 없는 라그랑주 부분다양체뿐입니다. 라그랑주 몰입은 자기 자신과 교차할 수 있고, 각 교차점에는 차수가 있습니다. 라그랑주 부분다양체 위에 경계를 둔 정칙 원판들은 "장애"에 기여하며, 보정항으로 이 장애를 상쇄할 수 있으면 그 라그랑주 부분다양체에는 장애가 없습니다. 차수 2인 교차점은 장애에 기여할 수 있고, 홀수 차수의 교차점은 그럴 수 없습니다.

거울 대칭을 두 언어 사이의 사전이라고 생각해 보십시오. 한 언어로 된 어려운 문장(대수적 사이클)을 다른 언어(라그랑주 부분다양체)로 쓴 뒤 다시 번역해 올 수 있습니다. 하지만 사전은 문법에 맞는 문장만 받아들이고, 라그랑주 부분다양체가 문법에 맞는다는 것을 보이는 일 자체가 어렵습니다. Lekili와 Sheridan의 말입니다. "이것은 호지 류를 대수적 사이클로 나타내는 타당한 접근이다. 문제는 장애 없는 라그랑주 부분다양체를 구성하는 것 또한 어려운 문제라는 점이다."

OpenAI의 호지 논문 세 편은 무엇을 주장했나요?#

10월 6일 OpenAI는 GitHub 저장소 openai/math를 공개했습니다. 첫 README는 내용물을 "OpenAI 내부 모델이 만든 수학 원고와 이를 뒷받침하는 증명 산출물"이라고 설명했습니다.⁹ 같은 날 OpenAI의 발표¹¹는 이렇습니다. "내부 프런티어 모델이 만든 폭넓은 새 수학 결과를 공개합니다."

그중 원고 세 편이 호몰로지 거울 대칭을 통해 호지 추측의 몇몇 경우를 증명했다고 주장했습니다.

논문(모두 'OpenAI' 명의)	논문에 적힌 날짜	쪽수	초록에서 옮긴 주요 주장
Algebraicity of Weil classes on split abelian eightfolds2	2026년 9월 18일	81	"바일형 분할 아벨 8차원 다양체 위의 모든 유리 바일 류가 대수적임을 증명한다."
Algebraicity of Kuga–Satake Correspondences for K3 Surfaces3	2026년 10월 3일	69	"모든 매끄러운 사영 복소 K3 곡면에 대해 쿠가-사타케 대응이 대수적임을 증명한다."
The rational Hodge conjecture for products of K3 surfaces4	2026년 10월 4일	65	"사영 복소 K3 곡면의 모든 유한 곱에 대해 유리 호지 추측을 증명한다. 즉 모든 유리 호지 류는 대수적이다."

각각은 추측 전체가 아니라 특수한 경우입니다. 8차원 다양체 논문 스스로 그렇게 말합니다. 이 논문은 "임의의 아벨 8차원 다양체 위의 모든 호지 류나, 임의의 매끄러운 사영 다양체에 대한 호지 추측에 대해서는 아무것도 주장하지 않는다".² 논문은 8차원의 경우를 4차원과 6차원 다양체에 관한 Eyal Markman의 연구에서 한 걸음 더 나아간 것으로 제시합니다. 쿠가-사타케 논문은 자신의 질문을 "실현해야 할 텐서가 지정된, 호지 추측의 특정한 경우"라고 설명합니다.³

세 편 모두 Lean 형식화가 없었습니다. 저장소 첫 버전의 형식 증명 목록에 이 논문들은 없고, 그 버전의 README는 이렇게 경고했습니다. "형식화되지 않은 결과 가운데 일부에는 문제가 있을 수 있다. 그런 문제는 신속히 고치도록 노력하겠다."

같은 공개분에는 다른 호지 관련 원고도 있었고, 그중에는 복소 곱셈을 갖는 아벨 다양체에 대해 추측을 주장하는 원고도 있습니다. OpenAI는 그 원고들을 철회하지 않았습니다. 그것들은 별개의 주장이며, 이 글은 그것들을 다루지 않습니다.

OpenAI는 언제, 어떻게 논문을 철회했나요?#

저장소에 있던 각 논문의 README가 철회 공지로 바뀌었습니다. 8차원 다양체 논문의 공지는 오류를 몇 줄로 설명합니다.⁵ 논문의 관례에서 증명은 교차점의 부호 있는 개수 I(f₁) = −m에서 출발합니다. 그런 다음 "역 안정화 자취(reverse stabilization traces)"라는 국소적 조각 m개를 끼워 넣고 각각을 +1로 세므로, 합계는 0이 되어야 합니다. 공지는 이렇게 말합니다.

표준 첨점의 두 가지가 가진 서로 반대인 원천 방향을 고려하면, 이 관례에서 각 역 자취의 부호는 −1이 된다.

따라서 새 개수는 0이 아니라 −2m입니다. "이 단계에서 원용한 Eliashberg-Murphy 상쇄 정리는 부호 있는 이중점 개수가 0일 것을 요구하므로, 그 가정이 충족되지 않는다. 따라서 이후의 유향 수술과 매장된 브레인 구성은 뒷받침되지 않으며, 논문은 주장한 대수성 정리를 확립하지 못한다."

나머지 두 공지는 더 짧습니다. 각 공지는 증명이 8차원 다양체 논문의 "결함 있는 안정화 자취 구성을 변형해 쓰고 있으며", "그로 인한 빈틈" 때문에 주장한 정리가 증명되지 않은 채로 남는다고 말합니다.^6,7 세 공지는 모두 같은 문장으로 끝납니다. "이 철회는 증명에 관한 것이며, 수학적 명제가 거짓이라고 주장하지 않는다."

저장소의 변경 기록⁸은 이 결정을 한 줄로 적습니다. "「Algebraicity of Weil classes on split abelian eightfolds」에서 부호 오류가 안정화 자취 상쇄 논증과, 이에 의존하는 두 논문이 쓴 구성을 무효로 만든다." 같은 업데이트에서 다른 원고 14편이 증명 수리와 명제 수정을 거쳐 개정됐습니다.

OpenAI는 철회한 작업을 지우지 않았습니다. 각 공지는 저장소의 고정된 리비전에 있는 철회 전 PDF로 연결되므로, 누구나 무엇이 주장됐는지 정확히 읽을 수 있습니다. 이 점은 실제로 중요했습니다. Lekili와 Sheridan은 바로 그 고정 링크로 논문들을 인용합니다.¹

철회 날짜는 어디를 보느냐에 따라 세 가지입니다.

• 공지에는 저장소가 공개된 날인 "2026년 10월 6일 철회"로 적혀 있습니다.
• 변경 기록은 철회를 10월 7일 항목에 올려 두었습니다.⁸
• 공개 저장소에 공지를 추가한 커밋의 타임스탬프는 10월 8일 05:03(UTC)입니다.¹⁰

출처들은 이 차이를 설명하지 않습니다.

오류는 누가 찾았나요?#

OpenAI의 공지와 변경 기록은 오류가 어떻게 드러났는지 말하지 않습니다. Lekili와 Sheridan은 이를 밝힙니다. 부호 문제는 "Nathan Humphrey가 처음 지적해 OpenAI에 알린 것으로 보인다".¹

Humphrey는 10월 7일 두 곳에 확인 결과를 공개했습니다. 18:17(UTC)에 만든 GitHub 저장소¹²와, 몇 분 뒤 올린 Substack 글¹³입니다. 글의 제목은 "A sign slip in OpenAI's split-eightfold proof, and why the natural repair looks blocked"입니다. 그는 논문을 반박하려던 것이 아니라 쓰려고 했습니다. 그 자신도 바일 류를 연구하고 있었습니다. "내 경우에 그 경로를 써 보려다 명제 3.1에서 기이한 문제에 부딪혔다."

그의 글은 손으로 해 볼 수 있는 확인 방법을 제시합니다.¹³ 8차원에서 교차점이 하나뿐인 몰입된 구면을 생각합니다. 논문의 자기 교차 공식은 −1을, Ekholm, Eliashberg, Murphy, Smith의 공식은 +1을 줍니다. "같은 대상, 반대 부호." 처음부터 끝까지 다른 관례로 바꿔도 도움이 되지 않는다고 그는 썼습니다. 그러면 합계가 −2m 대신 +2m이 되기 때문입니다. 그는 "정리가 거짓이라고 말하는 것은 아니다", "누군가 오류를 찾는다면 기꺼이 철회하거나 정정하겠다"라고도 썼습니다.

저장소의 README에 따르면 이 작업은 "같은 날 오후 OpenAI에 보고됐고", "Nathan Humphrey가 Claude와 GPT 모델과 함께 풀어냈다".¹² 그 자신의 설명대로라면, 모델이 만든 논문의 오류를 AI 도구와 함께 일하는 독자가 찾아낸 셈입니다.

Lekili와 Sheridan은 무엇이 잘못됐다고 말하나요?#

초록은 두 문장입니다. "문서 [OAI26a, OAI26b, OAI26c]는 OpenAI가 철회하기 전까지 호몰로지 거울 대칭을 통해 호지 추측의 몇몇 경우를 증명했다고 주장했다. 우리는 오류의 원인을 논의한다(나머지 논증은 분석하지 않는다)."¹

노트에 따르면 세 논문은 모두 "장애 없는 라그랑주 몰입을 구성하려던 지점에서 같은 방식으로 무너졌다". 논문들은 먼저 이런 대상을 만드는 일반적인 방법인 Gromov–Lees h-원리로 라그랑주 몰입을 만들었습니다. 그런 다음 Tobias Ekholm, Yakov Eliashberg, Emmy Murphy, Ivan Smith의 2013년 논문의 정리 1.1을 인용해, 이 몰입을 모든 교차점이 홀수 차수를 갖도록 고칠 수 있다고 주장했습니다. 이 단계가 결정적이었던 것은 짝수 차수의 교차점, "사실은 차수 2인 교차점만"이 장애에 기여하기 때문입니다.

그러나 노트에 따르면 2013년 구성은 "언제나 차수 2인 특별한 자기 교차점 p를 가진 몰입을 만들어 낸다. 특히 짝수 자기 교차점을 모두 없앨 수는 결코 없다". 그 교차점 하나가 남으면 라그랑주 부분다양체에 장애가 없다는 증명이 무너집니다.

실수는 어디서 왔을까요? "오류가 생긴 것은 [OAI26a, OAI26b, OAI26c]가 자기 교차점의 부호를 표준 관례로 계산한 반면, [EEMS13]은 암묵적으로 반대 관례를 쓰기 때문이다." 노트의 기호로 말하면, OpenAI 논문들은 어떤 수 I(f)가 J(f)와 같다고 가정했지만 실제로는 −J(f)와 같습니다. 노트에 따르면 부호가 반대였다면 장애 없음 정리의 가정은 "충족되었을 것"입니다.

노트는 2013년 논문을 탓하지 않습니다. 그 저자들은 "자신들의 결과가 표준과 반대인 관례로 진술되어 있다고 명시적으로 말하지 않는다. 한편 그들은 이 관례를 일관되게 쓰고, 그 관례는 논문의 공식과 증명을 읽어 보면 추론할 수 있으며, 그들이 택한 관례를 이해하면 결과는 옳다".

8차원 다양체 논문은 조금 다른 경로를 택했고, 노트는 이를 따로 한 주석에서 다룹니다. 이 논문은 모든 교차점을 해소해 매장된 라그랑주 부분다양체를 얻었습니다. 노트는 이렇게 하려면 모든 교차점이 홀수여야 하므로 "정리 3.2의 올바른 진술이 주는 짝수 자기 교차점이 라그랑주 부분다양체의 등급(grading)을 파괴할 것"이라고 설명합니다.

증명은 고칠 수 있나요?#

노트는 무너진 단계에서 더 나아갑니다. "장애 없음의 증명이 무너질 뿐 아니라, [EEMS13, 정리 1.1]이 만들어 내는 라그랑주 몰입은 대체로 장애가 있다."¹ 남은 차수 2 교차점에서 끝나는 강성 정칙 원판이 하나 있고, 그 원판이 장애의 선도항을 만듭니다. 노트는 이 때문에 어떤 영역에서 라그랑주 부분다양체에 장애가 생기는 이유를 설명하고 이렇게 덧붙입니다. "이 영역 밖에서도 장애의 이 항이 상쇄되리라 기대할 이유는 없다."

노트의 제목은 심플렉틱 위상수학의 한 구분을 가리킵니다. 유연한(flexible) 문제는 Gromov의 h-원리 같은 미분위상수학의 일반 도구로 풀 수 있습니다. 강성(rigid) 문제는 그렇지 않습니다. 노트의 표현으로는 "장애 없는 라그랑주 부분다양체는 일반적으로 강성이다. 보통은 강성인 것에서 유연한 것으로 갈 수는 있지만, 그 반대는 안 된다". 남은 차수 2 교차점은 "유연성의 대가"입니다. 저자들은 이 점이 논문들이 철회되기 전부터 그 구성에 대해 "여러 연구자를 회의적으로 만들었다"고 씁니다. 그리고 "물론 이런 직관은 틀릴 수 있다"고 덧붙입니다.

노트는 "수리할 수 없다"는 말을 쓰지 않습니다. 10월 24일 Proofs & Prompts 뉴스피드¹⁴는 노트가 오류와 함께 "새로운 입력 없이는 아마 수리할 수 없는 이유"를 설명한다고 요약했습니다. 이것은 뉴스피드가 노트를 읽은 방식입니다. Humphrey의 글은 한 경로에 대해 더 좁은 주장을 합니다. 다른 종류의 채움(filling)을 통한 "자연스러운 수리"가 "막힌 것으로 보인다"는 것입니다.¹³ 그는 이 결론이 어떤 해석적 결과를 조건으로 한다고 하며, 그 결과는 더 특수한 설정에서만 증명됐다고 씁니다.

OpenAI의 입장은 공지에 있습니다. 철회는 "수학적 명제가 거짓이라고 주장하지 않는다". 노트도 정리들이 거짓이라고 말하지 않습니다.

노트가 분석하지 않는 것은 무엇인가요?#

세 논문의 대부분입니다. 초록이 그렇게 말하고, 전략을 다룬 절도 이를 되풀이합니다. 접근법은 "중요한 기술적 세부를 제쳐 두고(다만 그 세부는 이 노트의 주제가 아니며 우리는 평가하지 않는다)" 기술됩니다.¹ 특히 다음을 분석하지 않습니다.

• 각 논증의 나머지. 노트는 장애 없는 라그랑주 부분다양체라는 한 가지 구성만 살피고, 그 이후는 다루지 않습니다.
• 곁가지 논증. OpenAI 논문의 공간들은 단순 연결이 아니어서, 논문들은 2013년 정리의 자체 판본을 내놓습니다. 노트는 이것이 "이 논의의 나머지와는 관련이 없다"고 하며 확인하지 않습니다.
• 명제가 참인지. 노트는 증명이 왜 실패하는지 설명합니다. 정리가 거짓이라고 주장하지는 않습니다.
• OpenAI의 다른 호지 원고. 노트는 철회된 세 논문만 인용합니다.

노트는 남길 만한 것도 찾습니다. 저자들은 이번 공개의 "긍정적 성과" 세 가지를 꼽습니다. 첫째는 이렇습니다. "그들이 제안한, 호몰로지 거울 대칭을 통해 호지 추측의 몇몇 경우에 접근하는 방식은 흥미롭고 추구할 가치가 있다. 우리가 아는 한 이런 형태로 출판된 적은 없지만, 시도된 적은 있으며 성공하지 못했다." 핵심 난관인 장애 없는 라그랑주 부분다양체의 구성을 극복한다면, 논문들은 "문제의 다른 기술적 측면에 대해 유용한 길잡이가 될 수도 있다". 나머지 두 성과는 2013년 논문의 부호 관례, 그리고 그 라그랑주 몰입이 장애 없을 수 있는지가 "명확해졌다"는 것입니다.

노트 자체도 프리프린트이며, arXiv에는 학술지 게재 정보가 없습니다.

한 주장의 생애 주기, 단계별로#

출처들을 나란히 놓으면 세 논문의 공개 이력이 처음부터 끝까지 이어집니다.

시점(UTC)	일어난 일	기록된 곳
9월 18일~10월 4일	세 원고에 인쇄된 날짜2,3,4	PDF
10월 6일 21:58	세 논문이 포함된 openai/math의 첫 커밋9	GitHub
10월 6일	OpenAI가 공개를 발표11	openai.com
10월 7일 18:17	Humphrey가 부호 확인을 공개. 그날 오후 OpenAI에 알렸다고 밝힘12	GitHub와 Substack
10월 8일 05:03	한 커밋이 10월 6일 자 철회 공지와 10월 7일 항목의 변경 기록을 추가10	GitHub
10월 22일 09:18	Lekili와 Sheridan이 노트를 제출1	arXiv
10월 24일	Proofs & Prompts가 노트를 요약14	뉴스피드
10월 31일	Papex가 노트를 세 주장에 대한 응답으로 추가	Papex

세 가지가 눈에 띕니다.

단계마다 저자가 다릅니다. 주장은 'OpenAI' 명의로 되어 있지만, README는 그 작업을 내부 모델이 했다고 밝힙니다. 철회 공지의 서명도 'OpenAI'입니다. 오류 발견은 AI 도구와 함께 일한 개인에게서, 진단은 두 학계 전문가에게서 나왔습니다. 이 일을 온전히 기록하려면 이들 모두의 이름을 남겨야 합니다.

고정 링크 덕분에 진단은 정확한 대상을 인용할 수 있었습니다. OpenAI가 철회 전 PDF를 고정된 리비전에 남겨 두었기 때문에, Lekili와 Sheridan은 자신들이 분석한 텍스트를 정확히 인용할 수 있었습니다.

날짜는 출처에 따라 다릅니다. 공지, 변경 기록, 저장소 이력은 하나의 철회에 서로 다른 날짜 세 개를 줍니다. 오래 남길 기록이라면 하나를 고르기보다 날짜마다 출처를 함께 남겨야 합니다.

Papex에서 이 주장들을 따라가려면#

Papex의 호지 추측 페이지(영어)는 세 논문을 철회된 주장으로 보여 주며, 각각에 OpenAI의 철회 공지를 붙여 둡니다. 이 글의 영어 원문을 내면서 Papex는 Lekili와 Sheridan의 논문을 세 주장 모두에 대한 응답으로 추가했습니다. 이 주장들은 /ai-claims(영어)의 "Revised or withdrawn"(수정 또는 철회) 항목에도 나옵니다.

Papex는 각 주장을 출처가 밝힌 그대로 보여 줍니다. 증명을 확인하거나 주장이 성립하는지 판단하지 않습니다. 문제의 상태는 출처를 따릅니다. 클레이가 호지 추측을 미해결로 표시하므로 Papex에서도 'Open'으로 남습니다. 다른 밀레니엄 문제와, 그에 관한 AI 주장을 읽는 법은 AI는 밀레니엄 문제를 풀었을까를 보십시오.

출처#

1. Lekili, Sheridan, Rigidity, flexibility, and a sign error (arXiv:2610.30976, 2026년 10월 22일 제출), 초록 페이지와 PDF, 2026년 10월 30일 확인 ↩ a b c d e f g h
2. OpenAI, Algebraicity of Weil classes on split abelian eightfolds (2026년 9월 18일 자, 리비전 adc7f12의 철회 전 PDF), 2026년 10월 30일 확인 ↩ a b c
3. OpenAI, Algebraicity of Kuga–Satake Correspondences for K3 Surfaces (2026년 10월 3일 자, 리비전 adc7f12의 철회 전 PDF), 2026년 10월 30일 확인 ↩ a b c
4. OpenAI, The rational Hodge conjecture for products of K3 surfaces (2026년 10월 4일 자, 리비전 adc7f12의 철회 전 PDF), 2026년 10월 30일 확인 ↩ a b
5. 철회 공지: Algebraicity of Weil classes on split abelian eightfolds (OpenAI), 2026년 10월 30일 확인 ↩
6. 철회 공지: Algebraicity of Kuga-Satake Correspondences for K3 Surfaces (OpenAI), 2026년 10월 30일 확인 ↩
7. 철회 공지: The rational Hodge conjecture for products of K3 surfaces (OpenAI), 2026년 10월 30일 확인 ↩
8. openai/math 변경 기록, history.md (GitHub), 2026년 10월 30일 확인 ↩ a b
9. 첫 커밋 adc7f12 시점의 openai/math README와 Lean 목록 (GitHub, 2026년 10월 6일), 2026년 10월 30일 확인 ↩ a b
10. openai/math 커밋 3014888, "Update manuscripts and Lean formalizations" (GitHub, 2026년 10월 8일), 2026년 10월 30일 확인 ↩ a b
11. Sharing AI progress in mathematics (OpenAI, 2026년 10월 6일), 2026년 10월 30일 확인(2026년 10월 6일 인터넷 아카이브 사본, 실제 페이지는 자동 접속 차단) ↩ a b
12. Humphrey, openai-split-eightfold-gap (GitHub, 2026년 10월 7일 생성), 2026년 10월 30일 확인 ↩ a b c
13. Humphrey, A sign slip in OpenAI's split-eightfold proof, and why the natural repair looks blocked (Substack, 2026년 10월 7일), 2026년 10월 30일 확인 ↩ a b c
14. Proofs & Prompts 뉴스피드, 2026년 10월 24일 항목, 2026년 10월 30일 확인(2차 출처) ↩ a b
15. Ekholm, Eliashberg, Murphy, Smith, Constructing exact Lagrangian immersions with few double points (arXiv:1303.0588; Geometric and Functional Analysis, 2013), 2026년 10월 30일 확인
16. Kontsevich, Homological Algebra of Mirror Symmetry (arXiv:alg-geom/9411018, ICM 1994), 2026년 10월 30일 확인 ↩
17. Homological mirror symmetry (영어 위키백과), 2026년 10월 30일 확인
18. Hodge Conjecture (클레이 수학연구소), 2026년 10월 30일 확인 ↩ a b
19. Deligne, The Hodge Conjecture (클레이 수학연구소, 공식 문제 설명), 2026년 10월 30일 확인 ↩ a b
20. 호지 추측, 주장과 업데이트 (Papex API), 2026년 10월 30일 확인