解説2026年11月4日22分で読めます

OpenAIはなぜホッジ予想の論文3本を撤回したのか：ミラー対称性と符号の誤りを解説

OpenAIは、AIが作成したホッジ予想の論文3本を2日のうちに撤回しました。LekiliとSheridanがarXivに投稿したノートが、符号の誤りがどこから来たのかを説明しています。誤りを見つけた人と撤回の日付も整理します。

Papex

2026年10月22日、2人の数学者が、ホッジ予想に関するOpenAIの論文3本がどこで誤ったのかを説明する9ページのノートをarXivに投稿しました。「Rigidity, flexibility, and a sign error」¹（剛性、柔軟性、そして符号の誤り）で、インペリアル・カレッジ・ロンドンのYankı Lekiliとエディンバラ大学のNick Sheridanは、破綻の原因を符号の規約にたどっています。論文は、ある幾何学的な対象の自己交差を一方の規約で数えていましたが、論文が依拠した2013年の定理は逆の規約で数えています。OpenAIは10月6日、社内のモデルが作成した数百本の原稿の一部としてこの3本を公開し、2日のうちに撤回していました。

この3本の論文は、公開の場で一通りのライフサイクルを経たことになります。企業が公開し、その後、自らの告知を付けて撤回しました。独立した読み手が符号を確かめて問題を報告し、2人の専門家が公開の文献の中で原因を診断しました。各段階は、それぞれ別の場所に、別の人によって、それぞれの日付とともに記録されています。

以下では、ホッジ予想が何を問うのか、ミラー対称性がどう役立つはずだったのか、論文が何を主張したのか、どのように撤回され診断されたのか、そしてPapexでどう追えるのかを順に紹介します。出典はすべて2026年10月30日に確認しました。Papexは数学の内容を評価しません。各出典が述べていることを伝えます。

ホッジ予想は何を問うのか#

解の集合の形が、さらなる方程式でいつ記述できるのかを問う予想です。この予想を7つのミレニアム懸賞問題の1つに挙げるクレイ数学研究所は、こう説明しています¹⁸。「この予想への答えは、代数方程式系の解集合の位相のうち、どれだけをさらなる代数方程式で定義できるかを決める」。

多項式の方程式で切り出された図形を考えます。数学者が射影多様体と呼ぶものです。位相幾何学は、これをコホモロジー類によって記述します。コホモロジー類は、各次元の穴やサイクルの一種の目録です。その類の一部は、図形の内部にある、やはり多項式の方程式で切り出された小さな図形から来ています。これが代数的サイクルです。代数的サイクルから来る類はどれも、ホッジ理論によるある検査に合格します。「(p, p) 型」であるという検査です。この検査に合格する有理数係数の類を、ホッジ類と呼びます。

予想は、この検査で十分だと述べています。ピエール・ドリーニュがクレイのために書いた公式の問題文¹⁹では、「C 上の非特異射影代数多様体の上では、任意のホッジ類は、代数的サイクルの類 cl(Z) の有理数係数の線形結合である」。

W. V. D. ホッジは、1950年の国際数学者会議での講演でこの問いを提起しました。クレイのページによれば、予想は「解集合の次元が4未満の場合など、特別な場合には知られている。しかし4次元では分かっていない」。¹⁸ドリーニュは障害をこう名指ししています。「興味深い代数的サイクルを構成する方法がないことが、進歩を阻んでいる」。¹⁹

この最後の一文が、OpenAIの論文が注目を集めた理由を説明しています。予想のある場合を証明するには、与えられたホッジ類を表す代数的サイクルを作らなければなりません。3本の論文は、それを作る新しい方法を提案していました。

ミラー対称性はどう関わるのか#

ミラー対称性は、弦理論を研究する物理学者が最初に見つけた現象です。1994年の国際数学者会議での講演で、マキシム・コンツェビッチ¹⁶は「ホモロジー代数の言葉で定式化したミラー予想の精密版」を提案しました。今日、ホモロジー的ミラー対称性と呼ばれるものです。

これは、空間 X を「鏡像」の空間 Y と対にします。X は、方程式を通じて代数幾何学で調べます。Y は、面積を軸に組み立てられた別の分野であるシンプレクティック幾何学で調べます。予想は、2つの対象の集まりが正確に対応すると述べています。

X の上では、代数的な対象。部分多様体、ベクトル束、そしてそれらを一般化した連接層です。
Y の上では、ラグランジュ部分多様体。Y のちょうど半分の次元を持ち、特別な性質を備えた曲面で、深谷圏と呼ばれるものを構成します。

LekiliとSheridanのノートは、OpenAIの論文がこれをどう使うつもりだったかを説明しています。¹まず、多様体 X がホモロジー的ミラー対称性を満たすことを示します。ノートは、該当する場合の鍵となる結果をMohammed AbouzaidとPaul Seidelの功績としています。次に、X 上のホッジ類を代数的サイクルで表すには、ミラー Y 上の「対応するホモロジー類を、障害のない（unobstructed）ラグランジュはめ込みで表せば十分になる」。ミラーの側で正しいラグランジュ部分多様体を作って向こう側へ移せば、X 上でその類を担う代数的な対象が得られる、というわけです。

落とし穴は「障害のない」という言葉にあります。ミラーの側で対象として数えられるのは、障害のないラグランジュ部分多様体だけです。ラグランジュはめ込みは自分自身と交差してもよく、交差点にはそれぞれ次数があります。ラグランジュ部分多様体上に境界を持つ正則円板は「障害」に寄与し、補正項でそれを打ち消せるとき、そのラグランジュ部分多様体は障害を持たないと言います。次数2の交差点は障害を生みえますが、奇数次の交差点は生みません。

ミラー対称性を、2つの言語の間の辞書だと考えてみてください。一方の言語の難しい文（代数的サイクル）を、もう一方の言語（ラグランジュ部分多様体）で書き、訳し戻すことができます。ただし、辞書が受け付けるのは文法的に正しい文だけで、あるラグランジュ部分多様体が文法的に正しいことを示すこと自体が難しいのです。LekiliとSheridanはこう書いています。「これは、ホッジ類を代数的サイクルで表すための正当な手法である。問題は、障害のないラグランジュ部分多様体を構成することも難しい問題だという点だ」。

OpenAIのホッジ予想の論文3本は何を主張したのか#

10月6日、OpenAIはGitHubリポジトリopenai/mathを公開しました。最初のREADMEは、その中身を「OpenAIの社内モデルが作成した数学の原稿と、それを支える証明の成果物」と説明していました。⁹同じ日のOpenAIの発表¹¹はこうです。「社内のフロンティアモデルが生み出した、幅広い新しい数学の結果を公開する」。

そのうち3本の原稿が、ホモロジー的ミラー対称性によって、ホッジ予想のいくつかの場合を主張していました。

論文（すべて著者は「OpenAI」）	論文に記された日付	ページ数	要旨にある主な主張
Algebraicity of Weil classes on split abelian eightfolds²	2026年9月18日	81	「ヴェイユ型の分裂型アーベル8次元多様体上のすべての有理ヴェイユ類が代数的であることを証明する」
Algebraicity of Kuga–Satake Correspondences for K3 Surfaces³	2026年10月3日	69	「すべての滑らかな射影複素K3曲面について、久賀–佐武対応が代数的であることを証明する」
The rational Hodge conjecture for products of K3 surfaces⁴	2026年10月4日	65	「射影複素K3曲面の任意の有限個の積について、有理ホッジ予想を証明する。すべての有理ホッジ類は代数的である」

表1 ホモロジー的ミラー対称性によってホッジ予想のいくつかの場合を主張した、OpenAIの3本の原稿。

どれも特殊な場合で、予想全体ではありません。8次元多様体の論文自身がそう書いています。この論文は「任意のアーベル8次元多様体上のすべてのホッジ類についても、任意の滑らかな射影多様体についてのホッジ予想についても、何も主張しない」。²論文は8次元の場合を、Eyal Markmanによる4次元と6次元の多様体についての研究から一歩進んだものとして示しています。久賀–佐武の論文は、自らの問いを「実現すべきテンソルが指定された、ホッジ予想の特別な場合」と説明しています。³

3本とも、Leanによる形式化はありませんでした。リポジトリの最初の版にある形式的な証明の一覧には載っておらず、その版のREADMEはこう警告していました。「形式化されていない結果の一部には問題があるかもしれない。そうした問題はすみやかに修正するよう努める」。

同じ公開には、ホッジ予想に関するほかの原稿も含まれていました。その中には、虚数乗法を持つアーベル多様体について予想を主張するものもあります。OpenAIはそれらを撤回していません。それらは別の主張で、この記事では扱いません。

OpenAIはいつ、どのように論文を撤回したのか#

リポジトリにある各論文のREADMEが、撤回告知に置き換えられました。8次元多様体の論文の告知は、誤りを数行で説明しています。⁵論文の規約では、証明は交差点の符号付きの数 I(f₁) = −m から出発します。次に m 個の局所的な部品「逆安定化トレース（reverse stabilization traces）」を挿入し、それぞれを +1 と数えるので、合計はゼロになるはずです。告知はこう書いています。

標準的なカスプの2つの分枝のソースの向きが逆であることを考慮すると、この規約では、各逆トレースの符号は −1 になる。

したがって、新しい数はゼロではなく −2m です。「この段階で使うEliashberg-Murphyの相殺定理は、二重点の符号付きの数がゼロであることを必要とするので、その仮定は満たされない。したがって、その後の向き付きの手術と埋め込まれたブレーンの構成は裏付けを失い、論文は主張する代数性の定理を確立していない」。

ほかの2つの告知はもっと短いものです。どちらも、証明が8次元多様体の論文にある「欠陥のある安定化トレースの構成を改変したものに依拠している」こと、そして「その結果生じた欠落」のために、主張された定理が証明されないままになっていることを述べています。^6,73つの告知はすべて同じ一文で終わります。「この撤回は証明に関するものであり、数学的な命題が偽であると主張するものではない」。

リポジトリの変更履歴⁸は、この判断を1行で記録しています。「『Algebraicity of Weil classes on split abelian eightfolds』では、符号の誤りにより、安定化トレースの相殺の議論と、それに依存する2本の論文が使う構成が無効になる」。同じ更新では、ほかの14本の原稿も、証明の修復や命題の訂正によって改訂されました。

OpenAIは撤回した研究を削除しませんでした。各告知は、リポジトリの固定されたリビジョンにある撤回前のPDFにリンクしているので、何が主張されていたかを今も誰でも正確に読めます。これは後に重要だったことが分かりました。LekiliとSheridanは、その固定リンクで論文を引用しています。¹

撤回には、どこを見るかによって3つの日付があります。

告知には「Withdrawn on October 6, 2026」（2026年10月6日撤回）とあり、これはリポジトリが公開された日です。
変更履歴は、撤回を10月7日の項に載せています。⁸
告知を公開リポジトリに加えたコミットのタイムスタンプは、10月8日05:03（UTC）です。¹⁰

出典は、この違いを説明していません。

誰が誤りを見つけたのか#

OpenAIの告知と変更履歴は、誤りがどのように明らかになったかを書いていません。LekiliとSheridanは書いています。符号の問題は「どうやらNathan Humphreyが最初に指摘し、OpenAIに報告したようだ」。¹

Humphreyは10月7日、2つの場所で検証を公開しました。18:17（UTC）に作成されたGitHubリポジトリ¹²と、その数分後のSubstackの記事¹³です。記事の題は「A sign slip in OpenAI's split-eightfold proof, and why the natural repair looks blocked」（OpenAIの分裂型8次元多様体の証明にある符号の誤りと、自然な修復がふさがれているように見える理由）です。彼は論文を否定したかったのではなく、使いたかったのです。彼自身もヴェイユ類に取り組んでいました。「自分の場合にその道筋を使おうとして、命題3.1で奇妙な問題に突き当たった」。

記事には、手で確かめられる検査が載っています。¹³交差点が1つだけになるようにはめ込まれた、8次元の球面を考えます。論文の自己交差の公式では数は −1 になり、Ekholm、Eliashberg、Murphy、Smithの公式では +1 になります。「同じ対象で、符号が逆」。全体を通して逆の規約に切り替えても役に立たない、と彼は書いています。その場合、合計は −2m ではなく +2m になるからです。彼はまた、「定理が偽だと言っているわけではない」、「誰かが誤りを見つけたら、喜んで撤回するか訂正する」とも書いています。

リポジトリのREADMEには、この検証は「同じ日の午後にOpenAIに報告した」こと、そして「ClaudeとGPTモデルとともにNathan Humphreyが検討した」ことが書かれています。¹²モデルが作った論文の誤りが、本人の説明によれば、AIツールを使う読み手によって見つかったのです。

LekiliとSheridanは何が誤っていたと言うのか#

要旨は2文です。「文書[OAI26a, OAI26b, OAI26c]は、OpenAIによって撤回される前、ホモロジー的ミラー対称性によってホッジ予想のいくつかの場合を証明したと主張していた。私たちは誤りの原因を論じる（ただし、議論の残りの部分は分析しない）」。¹

ノートによれば、3本の論文はすべて「障害のないラグランジュはめ込みを構成しようとした箇所で、同じように破綻していた」。論文はまず、こうした対象を作る一般的な方法であるグロモフ–リースのh原理を使って、ラグランジュはめ込みを作りました。次に、Tobias Ekholm、Yakov Eliashberg、Emmy Murphy、Ivan Smithによる2013年の論文の定理1.1を引用して、すべての交差点が奇数次になるようにそれを修正できると主張しました。この段階は決定的でした。障害に寄与するのは偶数次の交差点だけ、「実際には次数2のものだけ」だからです。

しかしノートによれば、2013年の構成は「常に、次数2の特別な自己交差点 p を持つはめ込みを生み出す。特に、偶数次の自己交差点をすべて消すことは決してできない」。その1つの交差点が残るので、ラグランジュはめ込みが障害を持たないことの証明は破綻します。

誤りはどこから来たのでしょうか。「誤りが生じたのは、[OAI26a, OAI26b, OAI26c]が自己交差点の符号を標準の規約で計算した一方、[EEMS13]は暗黙のうちに逆の規約を使っているからだ」。ノートの記法では、OpenAIの論文は、ある数 I(f) が J(f) に等しいと仮定していましたが、実際には −J(f) に等しいのです。ノートによれば、符号が逆であったなら、障害がないことを示す定理の仮定は「満たされていただろう」。

ノートは2013年の論文を責めてはいません。その著者らは「自分たちの結果が標準とは逆の規約で述べられていることを明示していない。一方で、彼らはこの規約を一貫して使っており、規約は論文中の式や証明を読むことから推測でき、彼らの規約の選択を理解していれば、結果は正しい」。

8次元多様体の論文は少し違う道筋をとっており、ノートはそれを注意（remark）の中で別に扱っています。その論文は、すべての交差点を解消して、埋め込まれたラグランジュ部分多様体を得ていました。ノートの説明によれば、それにはすべての交差点が奇数次である必要があるので、「定理3.2の正しい主張が与える偶数次の自己交差点が、ラグランジュ部分多様体の次数付けを壊してしまう」。

証明は修復できるのか#

ノートは、破綻した段階の先まで踏み込んでいます。「障害がないことの証明が破綻するだけでなく、[EEMS13、定理1.1]が生み出すラグランジュはめ込みは、典型的には障害を持つ」。¹残った次数2の交差点には、そこで終わる剛的な正則円板があり、その円板が障害の主要項を生みます。ノートは、これによって、ある範囲の場合にラグランジュ部分多様体が障害を持つ理由を説明し、こう付け加えています。「この範囲の外でも、障害のこの項が打ち消されると期待する理由はない」。

ノートの題は、シンプレクティック位相幾何学におけるある区別を指しています。柔軟な問題は、グロモフのh原理のような微分位相幾何学の一般的な道具で解けます。剛的な問題は解けません。ノートの言葉では、「障害のないラグランジュ部分多様体は一般に剛的である。ふつうは剛的なものから柔軟なものへは移れるが、その逆はできない」。残った次数2の交差点は「柔軟性の代償」です。著者らによれば、このことが、撤回される前の論文の構成について「何人かの研究者を懐疑的にさせた」。そして、「そうした直観はもちろん間違っていることもある」と付け加えています。

ノートは「修復不可能」という言葉を使っていません。10月24日、Proofs & Promptsのニュースフィード¹⁴はノートを、誤りと「新しい材料なしではおそらく修復不可能である理由」を説明するものと要約しました。これはニュースフィードによるノートの読み方です。Humphreyの記事は、1つの道筋について、より狭い議論をしています。別の種類の充填（filling）を通じた「自然な修復」は「ふさがれているように見える」というものです。¹³彼は、この結論は条件付きのものだとしています。その条件である解析的な結果は、彼によれば、より特定の設定でしか証明されていません。

OpenAI自身の立場は告知にあります。撤回は「数学的な命題が偽であると主張するものではない」。ノートも、定理が偽だとは言っていません。

ノートが分析していないことは何か#

3本の論文の大部分です。要旨がそう述べ、戦略についての節もそれを繰り返しています。手法は「重要な技術的細部を除いて（ただし、それはこのノートの主題ではなく、私たちは評価しない）」説明されています。¹特に、次の点です。

各議論の残りの部分：ノートが調べているのは1つの構成、つまり障害のないラグランジュ部分多様体だけで、その後の部分は扱っていません。
脇の議論：OpenAIの論文の空間は単連結ではないので、論文は2013年の定理の独自の版を用意しています。ノートは、これは「この議論の残りには関係しない」として、確認していません。
命題が正しいかどうか：ノートは、証明がなぜ失敗するかを説明しています。定理が偽だとは主張していません。
OpenAIのほかのホッジ予想の原稿：ノートが引用しているのは、撤回された3本の論文だけです。

ノートは、残すべきものも見いだしています。著者らは、今回の公開の「肯定的な成果」を3つ挙げています。1つ目はこうです。「彼らが提案する、ホモロジー的ミラー対称性によってホッジ予想のいくつかの場合に迫る手法は、興味深く、追究する価値がある。私たちの知る限り、この形では出版されたことがないが、試みられて成功しなかったことはある」。鍵となる難しさ、つまり障害のないラグランジュ部分多様体の構成が克服されれば、論文は「問題のほかの技術的な側面について、役に立つ手引きになる可能性が十分にある」。ほかの2つの成果は、2013年の論文の符号の規約と、そのラグランジュはめ込みが障害を持たないものになりうるかという点が「明確になった」ことです。

ノート自体はプレプリントで、arXivには学術誌への掲載情報は載っていません。

1つの主張のライフサイクルを順に見る#

出典を並べると、3本の論文には公開の場での完全な歴史があります。

日時（UTC）	起きたこと	記録されている場所
9月18日〜10月4日	3本の原稿に記された日付^2,3,4	PDF
10月6日 21:58	openai/mathの最初のコミット。3本の論文を含む⁹	GitHub
10月6日	OpenAIが公開を発表¹¹	openai.com
10月7日 18:17	Humphreyが符号の検証を公開。同じ日の午後にOpenAIに報告したとしている¹²	GitHubとSubstack
10月8日 05:03	10月6日付の撤回告知と、10月7日の項の変更履歴を加えるコミット¹⁰	GitHub
10月22日 09:18	LekiliとSheridanがノートを投稿¹	arXiv
10月24日	Proofs & Promptsがノートを要約¹⁴	ニュースフィード
10月31日	Papexが、ノートを3つの主張への応答として追加	Papex

表2 撤回された3本の論文の公開の歴史と、各段階が記録されている場所。

目を引く点が3つあります。

段階ごとに担い手が違います。 主張の著者は「OpenAI」で、READMEによれば、その研究は社内のモデルによるものです。撤回の署名も「OpenAI」です。誤りの発見はAIツールを使う個人から、診断は2人の大学の専門家から来ています。この一件を完全に記録するには、そのすべてを名指ししなければなりません。

固定リンクで、診断が引用可能になりました。 OpenAIが撤回前のPDFを固定されたリビジョンに残していたので、LekiliとSheridanは、分析していたテキストそのものを正確に示して引用できました。

日付は出典によって違います。 告知、変更履歴、リポジトリの履歴は、1つの撤回について3つの違う日付を示しています。長く残すための記録は、1つを選ぶのではなく、それぞれの日付を出典とともに残すべきです。

Papexで主張を追うには#

Papexのホッジ予想のページ（英語）は、3本の論文を撤回された主張として、それぞれOpenAIの撤回告知とともに載せています。この記事に合わせて、私たちはLekiliとSheridanの論文を、3つすべてへの応答として加えました。これらの主張は/ai-claims（英語）の「Revised or withdrawn」（改訂・撤回）の欄にも載っています。

Papexは、各主張を出典の記述どおりに載せます。証明を確認したり、主張が成り立つかを判断したりはしません。問題の状態は出典に従います。クレイはホッジ予想を未解決としているので、Papexでも「Open」のままです。ほかのミレニアム懸賞問題と、それらについてのAIの主張の読み方は、AIはミレニアム懸賞問題を解いたのかをご覧ください。

出典#

Rigidity, flexibility, and a sign error（Lekili、Sheridan、arXiv:2610.30976、2026年10月22日投稿）、要旨のページとPDF、2026年10月30日確認 a b c d e f g h
Algebraicity of Weil classes on split abelian eightfolds（OpenAI、2026年9月18日付。リビジョンadc7f12にある撤回前のPDF）、2026年10月30日確認 a b c
Algebraicity of Kuga–Satake Correspondences for K3 Surfaces（OpenAI、2026年10月3日付。リビジョンadc7f12にある撤回前のPDF）、2026年10月30日確認 a b c
The rational Hodge conjecture for products of K3 surfaces（OpenAI、2026年10月4日付。リビジョンadc7f12にある撤回前のPDF）、2026年10月30日確認 a b
撤回告知：Algebraicity of Weil classes on split abelian eightfolds（OpenAI）、2026年10月30日確認 ↩
撤回告知：Algebraicity of Kuga-Satake Correspondences for K3 Surfaces（OpenAI）、2026年10月30日確認 ↩
撤回告知：The rational Hodge conjecture for products of K3 surfaces（OpenAI）、2026年10月30日確認 ↩
openai/mathの変更履歴、history.md（GitHub）、2026年10月30日確認 a b
最初のコミットadc7f12時点のopenai/mathのREADMEとLeanの一覧（GitHub、2026年10月6日）、2026年10月30日確認 a b
openai/mathのコミット3014888「Update manuscripts and Lean formalizations」（GitHub、2026年10月8日）、2026年10月30日確認 a b
Sharing AI progress in mathematics（OpenAI、2026年10月6日）、2026年10月30日確認（2026年10月6日のインターネットアーカイブの保存版。公式ページは自動アクセスを遮断） a b
openai-split-eightfold-gap（Humphrey、GitHub、2026年10月7日作成）、2026年10月30日確認 a b c
A sign slip in OpenAI's split-eightfold proof, and why the natural repair looks blocked（Humphrey、Substack、2026年10月7日）、2026年10月30日確認 a b c
Proofs & Promptsのニュースフィード、2026年10月24日の項目、2026年10月30日確認（二次資料） a b
Constructing exact Lagrangian immersions with few double points（Ekholm、Eliashberg、Murphy、Smith、arXiv:1303.0588。Geometric and Functional Analysis、2013年）、2026年10月30日確認
Homological Algebra of Mirror Symmetry（Kontsevich、arXiv:alg-geom/9411018、ICM 1994）、2026年10月30日確認 ↩
Homological mirror symmetry（Wikipedia）、2026年10月30日確認
Hodge Conjecture（Clay Mathematics Institute）、2026年10月30日確認 a b
The Hodge Conjecture（Deligne、Clay Mathematics Institute、公式の問題文）、2026年10月30日確認 a b
ホッジ予想の主張と更新（Papex API）、2026年10月30日確認